Sommes-nous égaux face aux mathématiques ?

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De nombreuses études ont montré que nos compétences mathématiques provenaient de deux systèmes de représentations mentales différents : d’une part, nous apprenons à l’école une représentation symbolique des mathématiques. C’est ce premier système qui nous permet par exemple d’écrire des opérations avec des signes, ou de résoudre de manière précise des calculs portant sur de grands nombres. D’autre part, nous avons également une pensée numérique, non symbolique, permettant la quantification, la comparaison et d’effectuer des opérations simples. Ce second système de représentation, présent avant le début de l’enseignement scolaire des mathématiques, nous permet de déterminer, par exemple, d’un seul coup d’œil si une boîte contient plus de billes qu’une autre. Si ces deux systèmes sont liés, nous pourrions travailler sur le système non-symbolique, et entraîner spécifiquement nos enfants pour améliorer leurs mathématiques formelles. Le risque sous-jacent serait alors de penser qu’il existe un « déterminisme mathématique », ou que les compétences en sciences seraient entièrement innées. L’étude des liens entre les deux systèmes nous permettra de voir des pistes pour revoir la façon dont l’enseignement scientifique est dispensé, et particulièrement en France, qualifiée par certains de « terre des mathématiques ».

Deux systèmes de représentation

Plusieurs études (Cordes, Gelman, Gallistel & Whalen, 2001 ; Deheane 1997 ; Feigenson, Deheane & Spelke 2004) ont envisagé l’existence, en plus de notre capacité à manier des symboles mathématiques et à résoudre des calculs précis, d’un système représentant les nombres de manière non symbolique et imprécise. Ce système numérique approximatif (ou ANS en anglais) est présent de manière innée et universelle chez les adultes, les jeunes enfants n’ayant pas reçu de formation mathématique formelle (Izard, Sann, Spelke & Streri 2009) ainsi que dans les populations non-verbales et préverbales (Feigenson, Deheane, Spelke 2004). Les études auprès de ces populations montrent ainsi que la représentation d’une quantité ou d’une opération simple par l’ANS ne dépend pas du symbole (« 4 », « + ») ou du mot (« quatre », « plus »).

Différence entre les deux systèmes. A gauche, le premier système nous permet de manipuler les symboles mathématiques (nombres, opérateurs…) et de réaliser des opérations. A droite, c’est le système non-symbolique qui nous permet, sans même avoir à les compter, de voir qu’il y a plus de billes dans le cercle de droite.

Différence entre les deux systèmes. A gauche, le premier système nous permet de manipuler les symboles mathématiques (nombres, opérateurs…) et de réaliser des opérations. A droite, c’est le système non-symbolique qui nous permet, sans même avoir à les compter,de voir qu’il y a plus de billes dans le cercle de droite.

Les tests portant sur l’addition non symbolique (Camilla Gilmore, Nina Atridge, Matthew Inglis : « Measuring the Approximate Number System ») nous donnent une bonne idée de la présence et du fonctionnement de l’ANS : dans cette tâche, les sujets doivent comparer (i.e. indiquer où se trouve le plus grand nombre de points) un écran comportant un certain nombre de points par rapport à la « somme » (imprécise) du nombre de points de deux écrans séparés, les points étant trop nombreux pour pouvoir être comptés et additionnés explicitement. Les sujets indiquent la bonne réponse avec une probabilité supérieure à 50%, montrant leur capacité à comparer des quantités et à effectuer des opérations simples de manière imprécise et non symbolique.

Autre exemple de tâche sollicitant l’ANS : l’addition non-symbolique. Où y a-t-il le plus de billes : dans la somme des deux boîtes de gauche, ou dans celle de droite ?

Autre exemple de tâche sollicitant l’ANS : l’addition non-symbolique.
Où y a-t-il le plus de billes : dans la somme des deux boîtes de gauche, ou dans celle de droite ?

Dans l’article « Symbolic arithmetic knowledge without instruction » (Camilla K. Gilmore, Shannon E. McCarthy, Elizabeth S. Spelke), nous apprenons que des tâches d’addition symbolique comparée (par exemple : « Sarah a un sac de 21 billes et un autre de 30 billes. Jean a un sac de 34 billes. Qui en a le plus ? ») peuvent être réalisées sans avoir reçu de formation mathématique formelle, et que les enfants se reposent sur leur vision non symbolique des quantités pour les résoudre : en effet, ils ne peuvent écrire formellement l’opération et n’ont pas besoin de connaissance du nombre exact.

Une relation entre l’ANS et les compétences en mathématiques scolaires

L’idée que nos compétences mathématiques proviennent de deux systèmes séparés, l’un symbolique et issu de l’apprentissage, l’autre approximatif et universel, pourrait avoir une conséquence primordiale sur l’enseignement des mathématiques. En effet, les « compétences mathématiques » des enfants, telles qu’elles sont évaluées à l’école, ne reflètent que leur capacité à utiliser les mathématiques formelles, précises, symboliques : ils doivent résoudre des calculs, des équations, manier des symboles, mais ne sont pas notés par les enseignants sur leurs capacités à distinguer approximativement deux quantités de points. La précision et l’efficacité de leur système non symbolique ne sont pas prises en compte. Or, les deux systèmes sont peut-être liés. Si l’ANS et la représentation non-symbolique des nombres sous-tendent leur représentation symbolique et précise, nous pourrions d’une part prédire les performances en mathématiques à l’école de très jeunes enfants en mesurant la précision et les performances de leur ANS (cette notion sera discutée plus bas), et, d’autre part, entraîner spécifiquement l’ANS de nos enfants pour les rendre meilleurs en mathématiques. Cela est-il possible ?

Résultats d’Halberda, indiquant la relation entre la fraction de Weber d’un sujet et ses résultats à divers tests standardisés de mathématiques. Les résultats indiquent que plus une personne a une bonne représentation non symbolique des nombres, meilleure elle est en mathématique.

Résultats d’Halberda, indiquant la relation entre la fraction de Weber d’un sujet et ses résultats à divers tests standardisés de mathématiques. Les résultats indiquent que plus une personne a une bonne représentation non symbolique des nombres, meilleure elle est en mathématique.

Les recherches de Justin Halberda (« Individual differences in non-verbal number acuity correlate with maths achievement » : Justin Halberda, Michèle M. M. Mazzocco, Lisa Feigenson) montrent que les notes en mathématiques d’un sujet sont liées à la précision de son ANS. Les auteurs mesurent pour cela la fraction de Weber (w) de chaque sujet. Cette fraction est un seuil différentiel qui définit la limite en dessous de laquelle un individu ne parvient plus à différencier deux quantités  : plus w est petit, plus le sujet est capable de discriminer deux quantités proches l’une de l’autre. On présente à chacun (64 sujets âgés de 14 ans) un écran comportant des points jaunes et bleus, trop rapidement (200ms) pour que les points puissent être comptés : les sujets doivent ainsi dire si les points jaunes sont plus nombreux que les points bleus en faisant appel à leur ANS. Leur taux de bonne réponse permet d’en mesurer la précision : plus le nombre de points jaunes est proche du nombre de points bleus, plus la discrimination est difficile à opérer. Les auteurs réalisent qu’il y a une forte variabilité de w parmi l’échantillon (i.e. de fortes différences dans la précision de l’ANS), et qu’il y a une corrélation négative entre w et les résultats du sujet à des tests standardisés de mathématiques : plus l’ANS est précis, meilleur est le sujet en maths.

Camilla Gilmore (« Core numerical abilities and learning of school mathematics », Camilla K. Gilmore) retrouve l’idée selon laquelle les performances non symboliques permettent de prédire les performances en mathématiques à l’école, mais cette fois chez de plus jeunes sujets (entre 5 et 6 ans) et en mesurant non pas la précision de l’ANS par la fraction de Weber, mais la capacité du sujet à réaliser de l’addition non-symbolique (comparaison de plusieurs champs de points).

Une relation, oui : mais dans quel sens ?

Deux hypothèses s’offrent alors à nous. Selon la première, l’ANS reflèterait l’instruction reçue en mathématiques formelles : un bon travail en sciences à l’école permettrait au sujet de résoudre plus facilement et rapidement des problèmes de comparaison et d’addition non symboliques. La seconde, au contraire, stipule que l’ANS sous-tendrait nos raisonnements en mathématiques scolaires : si un élève est bon à l’école, c’est parce que son ANS est plus précis et lui permet de mieux raisonner face à un problème. Ces deux hypothèses ne sont pas exclusives l’une de l’autre, mais la seconde aurait des conséquences intéressantes : en mesurant l’ANS de très jeunes enfants, nous pourrions détecter de futures difficultés dans l’apprentissage des maths à l’école, mais aussi et surtout améliorer la précision de leur système de représentation non symbolique par des exercices particuliers pour les rendre ensuite meilleurs en mathématiques.

La plupart des études (Justin Halberda, Michèle M. M. Mazzocco, Lisa Feigenson 2008 ; Gilmore et al. Cognition 2010) s’accordent pour dire qu’il est encore trop tôt pour déterminer si cette hypothèse se confirme. Mais certains articles (« Preschoolers’ Precision of the Approximate Number System Predicts Later School Mathematics Performance » : Mazzocco, Feigenson, Halberda) portant sur des enfants n’étant pas encore scolarisés montrent que l’ANS mesuré en maternelle permet de prédire les notes en mathématiques en primaire, laissant penser qu’on pourrait agir sur l’ANS.

L’Early Numeracy Support Project (Camilla Gilmore) cherche justement à voir si un entraînement précoce des enfants grâce à des logiciels permettrait de leur donner plus tard des facilités dans l’apprentissage de l’arithmétique. Les résultats montrent que cet entraînement comportant des jeux liés aux opérations simples et à des comparaisons de nombres et de quantités augmente leurs compétences dans certaines tâches numériques. De plus, le système ANS peut être entrainé plus spécifiquement grâce à des logiciels adaptés (i.e. le logiciel « Number Race », centré sur la compréhension des quantités) : les résultats n’ont pas montré que cet entraînement plus spécifique permettait une augmentation encore plus importante des résultats en mathématiques, mais cela peut être lié à la durée trop courte de l’expérience.

Remise en cause des résultats : une autre forme de déterminisme

Nous avons ainsi passé en revue plusieurs résultats démontrant une corrélation entre les compétences de l’ANS d’un sujet et ses facilités à l’école, suggérant que des difficultés d’apprentissage pouvaient être prédites en mesurant les capacités non-symboliques de très jeunes enfants. A première vue, cela pourrait, pour les enfants ayant de moins bonnes capacités en mathématiques non symboliques, susciter une prophétie auto réalisatrice : à partir du moment où ses parents et professeurs le considéreront comme moins bons que les autres, l’enfant croira moins à sa propre réussite scolaire. Néanmoins, lier les performances de l’ANS aux résultats en mathématiques pourrait permettre de détecter précocement des cas de dyscalculie et d’éviter de futurs décrochages scolaires. Mais cette corrélation, bien que séduisante, reposerait sur des facteurs très précis et ne serait donc pas si évidente, plusieurs études (« Core numerical abilities and learning of school mathematics » : Camilla K. Gilmore ; Holloway & Ansari, 2009De Smedt, Verschaffel, & Ghesquière, 2009) venant la remettre en cause. Ainsi, en prenant des sujets plus jeunes, Camilla Gilmore remet en cause la relation observée par Justin Halberda, Michèle M. M. Mazzocco et Lisa Feigenson. Il y a même plus : ce que nous appelons ANS ne serait en fait pas un système unique de représentation non-symbolique, mais regrouperait plusieurs systèmes ne dépendant pas forcément les uns des autres. C’est la conclusion à laquelle parviennent Camilla K. Gilmore, Nina Attridge et Matthew Inglis dans l’article « Measuring the approximate number system » : en réalité, peu d’études utilisent plusieurs tâches pour mesurer l’ANS d’un sujet, et encore moins montrent une relation entre ces résultats et les notes en arithmétiques. Suivant la tâche que l’on demande au sujet d’effectuer, on peut retrouver ou pas la corrélation précédemment évoquée et sur laquelle nous fondions nos espoirs. Les auteurs soumettent plusieurs exercices à leurs sujets, chacun permettant d’évaluer l’ANS : comparaison non symbolique (« dans quel écran y a-t-il le plus de points ? »), addition symbolique comparée (« a+b est-il plus grand que c ? »), etc. Les mesures sont similaires à celles d’autres études, indiquant qu’il n’y a pas de résultats aberrants, mais ne sont pas corrélées les unes aux autres. Des recherches plus approfondies sont nécessaires, mais il semblerait que l’ANS ne soit en fait qu’un regroupement de différents systèmes spécialisés indépendants les uns des autres.

Nous ne sommes donc pas encore capables de prédire si un enfant n’étant pas encore scolarisé deviendra bon en mathématiques, ou de transformer nos enfants en singes savants en les entraînant dès leur plus jeune âge. Nous savons cependant que plusieurs autres éléments peuvent influer sur les futurs résultats en mathématiques du très jeune enfant :

• La consommation d’alcool de la mère au cours de la grossesse peut susciter un syndrome d’alcoolisation fœtale, ou un trouble du spectre de l’alcoolisation fœtale. Les troubles neurologiques qui y sont liés comprennent notamment un retard et des difficultés dans l’apprentissage des mathématiques (Streissguth A.P. : « Fetal alcohol syndrome in adolescents and adults ») ;

• Il semblerait également que la langue dans laquelle l’enfant apprend à lire et à écrire puisse influer ses résultats en mathématiques. En effet, certaines langues peuvent avoir une symbolique ou une représentation des chiffres moins évidentes que d’autres. Le lecteur francophone se souviendra de son désarroi lorsqu’il apprenait à compter : il devait comprendre que « 97 » se dit « 4 x 20 + 10 + 7 », tandis que les petits Anglais ou Allemands n’ont qu’à retenir « 90 + 7 ». Des différences encore plus poussées entre d’autres systèmes pourraient ralentir l’apprentissage des mathématiques plus formelles (Yi Han, Herbert Ginsburg : « Chinese and English mathematics language : The relation between linguistic clarity and mathematics performance »).

Il convient dès lors d’envisager la possibilité qu’il existe un déterminisme biologique dans les compétences mathématiques, et que ces dernières relèvent en partie du domaine de l’inné. D’ailleurs, ne dit-on pas d’un étudiant doué en sciences qu’il a la « bosse des maths » ? Cette hypothèse viendrait alors remettre en cause l’importance des mathématiques dans l’enseignement, et cela d’autant plus qu’elles subiraient également un déterminisme d’ordre socioéconomique. L’argument classiquement avancé par les partisans des mathématiques dans les concours ou les examens est le suivant : les matières littéraires (littérature, histoire, philosophie, langues…) seraient discriminantes pour les élèves, tandis que les sciences ne le seraient pas. Dans une épreuve littéraire, les étudiants issus de milieux aisés seraient favorisés par rapport aux autres, dans la mesure où ils auraient bénéficié plus tôt d’un meilleur accès à la culture, à des références littéraires, à des voyages à l’étranger… A l’inverse, seul le travail personnel et nos facilités propres nous permettraient d’améliorer nos résultats en mathématiques, sans que le milieu joue un rôle : nous serions « socioéconomiquement » égaux face aux mathématiques. De nombreuses études (Case, Griffin, & Kelly, 1999 ; Jordan, Huttenlocher, & Levine, 1992) viennent cependant remettre cette belle idée en cause, indiquant que les enfants issus de familles aisées sont plus doués en mathématiques que leurs camarades moins favorisés. Ces inégalités seraient bien plus significatives que le déterminisme biologique (essentiellement d’ordre pathologique) évoqué plus haut.

L’expression « bosse des maths » est héritée de la phrénologie. Cette pseudo-science populaire au XIXème siècle se basait sur la croyance selon laquelle chaque trait de caractère d’un individu est déterminé par le volume qui lui est alloué dans la boîte crânienne. On pourrait ainsi palper une bosse au niveau de la zone des maths chez quelqu’un doué pour les sciences.

L’expression « bosse des maths » est héritée de la phrénologie. Cette pseudo-science populaire au XIXème siècle se basait sur la croyance selon laquelle chaque trait de caractère d’un individu est déterminé par le volume qui lui est alloué dans la boîte crânienne. On pourrait ainsi palper une bosse au niveau de la zone des maths chez quelqu’un doué pour les sciences.

Les mathématiques en France : un archaïsme à rénover ?

L’appellation « France : terre de mathématiques » (« Pourquoi la France est une terre de mathématiques » : Le Figaro, 24/04/09) est notamment justifiée par la renommée des grands mathématiciens français, de René Descartes à Cédric Villani, et par les récompenses reçues : La France compte 11 médaillés Fields, se classant seconde pour le nombre de médaillés après les Etats-Unis (mais première pour le nombre de récompenses par rapport au nombre d’habitants). Pour Stéphane Jaffard, président de la Société Mathématique de France, « les mathématiques sont fortes à tous les niveaux » : il y a bien une particularité française, donnant une grande importance aux mathématiques dans l’enseignement, que ce soit en nombre d’heures (15% du nombre d’heures total dans le secondaire contre 12% dans le reste de l’OCDE) ou dans l’enseignement supérieur (rares sont les concours d’entrée aux grandes écoles ne proposant aucune épreuve de mathématiques, même dans les sections pourtant littéraires).

Cédric Villani, lauréat 2010 de la médaille Fields

Cédric Villani, lauréat 2010 de la médaille Fields

Les mathématiques seraient ainsi une sorte d’héritage du jacobinisme de la Révolution Française : elles sont objectives, légitimes, et tous les Français, sans préjuger de leurs origines sociales, seraient égaux face à elles, les rendant importantes dans les concours et examens. Mais, comme nous l’avons vu, les mathématiques sont effectivement discriminantes, et même encore plus que les matières littéraires, comme le rapporte le dernier rapport PISA. S’il est difficile d’expliquer ce phénomène, on peut y voir le fait que les familles aisées payent souvent des cours particuliers en sciences à leurs enfants, que les écoles ont des niveaux différents, et que les inégalités peuvent s’accumuler au cours de l’enseignement, dans la mesure où les mathématiques sont enseignées très longtemps. Cette inégalité socioéconomique (face à laquelle les inégalités « biologiques » ont un effet beaucoup moins évident) est d’autant plus inquiétante que le corollaire de l’importance des mathématiques est la perte d’importance des autres filières : en France, « scientifique » est synonyme de « bon élève », au détriment des filières économiques, littéraires et surtout technologiques, empêchant toute réorientation des élèves.

Conclusions

Le risque de mauvaises utilisation et compréhension des résultats d’expériences est évident : il s’agit bien de rappeler au public qu’il n’y a pour le moment pas de « déterminisme mathématique ». Certains éléments d’ordre biologique semblent bien avoir un effet sur l’apprentissage des sciences : mais leur aspect ponctuel et pathologique empêche de conclure qu’un talent scientifique est complètement inné. Il est tout à la fois prématuré et dangereux de vouloir prédire les notes en arithmétiques d’un étudiant sur la base de tests réalisés quand il était en maternelle. Cependant, même en pensant que le but de l’école est avant tout de nous apprendre à réfléchir (et pas une compétition), et toutes choses étant égales par ailleurs, il serait intéressant de confirmer si des problèmes de dyscalculie peuvent être dépistés et traités grâce à des exercices particuliers avant la scolarité. De façon moins poussée, l’utilisation de certains logiciels aide les enfants à faire le lien entre chiffre symbolique et quantité non symbolique. Les enseignants pourraient bénéficier de formation, leur expliquant comment faire mieux comprendre le concept de quantité aux très jeunes enfants. Des exercices portant sur l’ANS leur permettraient de résoudre d’éventuels problèmes dans le domaine des mathématiques formelles.

Camille GONTIER

Pour citer cet article : http://bullesdesavoir.com/2014/12/10/sommes-nous-egaux-face-aux-mathematiques/ © Bulles de Savoir

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